Вклад Хорезми в становление вычислительно-алгоритмической традиции в эпоху европейского Ренессанса

Ирода Шамсиева,
ведущий научный сотрудник Центра новой истории Узбекистана
при Академии государственного и общественного строительства
при Президенте Республики Узбекистан

Узбекистан является одной из колыбелей мировой науки. Именно на узбекской земле выросли выдающиеся мыслители, такие как Бируни, Фараби, аль-Хорезми, Улугбек и многие другие.

Достижения вычислительно-алгоритмических наук Средней Азии в период IX–XV вв. оставили неизгладимый след в развитии мировой научной мысли. В творчестве среднеазиатских математиков развитие вычислительных приемов занимало важнейшее место. Стремление к усовершенствованию этих приемов проявилось в работах узбекских классиков науки, которые послужили фундаментом европейской математики и оказали большое влияние на развитие мирового вычислительно-алгоритмического направления.

Труды выдающихся математиков Средней Азии и Узбекистана пользовались неизменным авторитетом на Востоке в XI–XV вв., а затем в Европе. Они изучались и комментировались учеными следующих поколений и являлись руководствами для исследования в различных областях математики.

Особый интерес вызывали научные труды выдающегося узбекского ученого Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми, стоявшего у истоков современной математики и информатики, астрономии, географии. Он внес огромный вклад в сокровищницу мировой науки. Известный американский историк науки Джордж Сартон недаром назвал всю первую половину IX века эпохой аль-Хорезми как «величайшего математика своего времени, и если принять во внимание все обстоятельства, одного из величайших всех времен» ^[1] .

Немецкий ученый К. Фогель назвал Хорез­ми «учителем Запада не только в алгебре, но и во внедрении им новых индийских цифр и методов вычисления» ^[2] . Также Фогель пишет: «…арифметика, начинающаяся словами Dixit Algorizmi, заложила основу бурного роста математических знаний, который произошел в Западной Европе XVI–XVII вв.» ^[3]

Действительно, арифметический трактат Хо­рез­ми «Китаб хисаб ал-адад ал-хинди» («Книга о счете индийскими цифрами») сыграл огромную роль в истории не только арифметики, математики и ее вычислительно-алгоритмического направления, но и всей мировой культуры как основной источник распространения десятичной позиционной системы счета и записи чисел, повсеместно заменившей гораздо менее совершенную алфавитную систему счисления греков, громоздкую римскую нумерацию, сложные китайские диаграммы и т. д.

В нем впервые была систематически изложена арифметика, основанная на десятичной позиционной системе счисления с применением нуля. Уже с середине XII в. принципы и приемы действий десятичной позиционной арифметики, первым пропагандистом которых выступил в Багдаде аль-Хорезми, получили довольно широкую известность в Западной Европе, где в это время развернулась интенсивная деятельность группы переводчиков научной литературы с арабского на общепринятый тогда в ученом мире латинский язык.

После завоевания в начале VIII века Испании и Португалии арабами здесь надолго утвердилась арабо-мусульманская культура. Арабский служил для европейских умов международным научным языком. Поэтому этот период в истории науки и культуры называют иногда «арабским». Испанские города Мадрид, Кордова, Толедо, Севилья были культурными и научными центрами не только Пиренейского полуострова, но и для других государств Западной Европы. «Выучиться наукам арабов» приезжали из соседней Франции, Италии и Британии ^[4] .

Период наивысшего развития цивилизации народов Средней Азии — восточного Ренессанса совпал со временем наиболее сильного гнета церковной ортодоксии во всех областях европейской культуры и науки. И как следствие — низкий уровень математических знаний и других естественных наук. Поэтому распространение арабо-мусульманской культуры в Испании сыграло большую роль для развития общеевропейской культуры, в том числе математики. «Для математики здесь решающее значение имели распространение достижений багдадской школы, начиная с трудов Мухаммада аль-Хорезми» ^[5] .

Западная Европа явилась преемницей и носительницей научных идей древнего Рима и пользовалась римскими цифрами. Поэтому «индийский счет» распространился здесь не сразу. Сначала он длительное время соседствовал с ускоренившейся здесь римской нумерацией, пальцевым и счетом на абаке — счетной доской в буквенной нумерации. Несмелыми шагами и тайком, боясь навлечь на себя страшное обвинение в ереси, пробирались ученые в Испанию чтобы там научиться новой, чуждой им образованности.

Европейцы до половины XII века «арабские науки изучали на языке оригинала». Огромное значение для прогресса математических знаний в Европе имели, как уже говорилось, переводы с арабского как оригинальных сочинений, так и греческой литературы, имевшейся на арабском языке. Переводами с арабского интенсивно занимались в XI–XIII вв., но изучение арабских рукописей продолжало обогащать европейских математиков и в XV–XVII вв.

На основе вышеуказанного труда Хорезми на латинском Западе в XII–XIII вв. устанавливается алгоризмическая (алгоритмическая) традиция. Новую арифметику начали называть именем аль-Хорезми в латинизированной форме: «алгоритм» или «алгорисм», так как латинский перевод книги начинается словами: «Алгоризми сказал» (Dixit Algorizmi).

Общеизвестно, что арабский оригинал до сих пор не обнаружен. Единственный экземпляр рукописи, находившийся некогда в английском аббатстве, хранился в библиотеке Кембриджского университета. Согласно каталогу рукописей, составленному 1858 г., он был переписан мелким почерком в XIII в. (written in small XIII th century hands) ^[6] .

Каждый алгоризм (алгоритм) был предназначен популяризовать новую систему счисления. Новые методы счета с индийскими цифрами, предложенные аль-Хорезми, значительно превосходили старые, трудоемкие. Труд аль-Хорезми в латинском переводе явился основой развития «индийской» арифметики и в Европе. По выражению Дж. Сартона, это сочинение может быть основным руслом, по которому новая система стала известна в Европе ^[7] .

Первые переводы трудов аль-Хорезми осуществили: Аделардо из Бата (1126), Иоганн Севильский (XII), Роберт из Честера (1145), Герардо из Кремоны (XII), Магистр А. (1143), Леонардо Пизанский (нач. XIII) ^[8] .

Переводческая работа сопровождалась написанием компилятивных сочинений и имела международный характер: в ней участвовали принявшие христианство арабы, испанцы, выходцы из перешедших до того в мусульманство семей, испанские евреи, англичане, итальянцы, славяне, фламандцы. Так возникла огромная литература по «алгоризмам», ставшая одной из основ дальнейшего прогресса науки в Европе. Как отметил М. Симон: «Решающее значение для принятия в Европе десятичной позиционной нумерации и новых цифр имело ознакомление, начиная с XII в., с латинскими переводами арабских книг по арифметике, в первую очередь с арифметикой аль-Хорезми» ^[9] .

Среди многих трактатов, написанных на
латыни, а затем и на живых языках между XII–XV веками, особый интерес представляют и играют первостепенную роль следующие сочинения, потому что они самые древние и только они называют именно аль-Хорезми источником вдохновения. В частности, речь идет о наиболее древних алгоризмах, написанных в XII в. и более или менее прямо восходящих к утерянной арабской арифметике Хорезми. Один из этих трактатов сохранился в единственной рукописи в Кембридже и был опубликован в транскрипции в 1857 году итальянским историком Б. Бонкомпаньи ^[10] .

Автор перевода точно неизвестен: возможно, что им был Герардо из Кремоны. Некоторые ученые предполагают, что автором ее является Аделард из Бата — английский ученый и мыслитель, который сыграл огромную роль как пионер распространения арабской науки и философии в первой половине XII века (Ю. Руска, А. П. Юшкевич, А. Файзуллаев, Г. П. Матвиевская, А. Ахмедов и др.). По мнению бельгийского ученого Андрэ Аллара, исследовавшего первый перевод текста алгорисма, невозможно определить его автора ^[11] .

Однако рукопись вовсе не представляет собою точного перевода сочинения аль-Хорезми. Переводчик или, скорее всего, переписчик более раннего периода приспособлял труд восточного ученого к запросам европейского читателя. Он заменял арабские числительные и применявшиеся аль-Хорезми цифры употребительными в тогдашней Западной Европе римскими цифрами.

Арифметический трактат — алгорисм Хорезми был обработан в середине XII в. испанским ученым Иоанном Севильским. Его труд назывался «Liber Algorismi de pratica arismetrice» («Книга Алгоризма о практике арифметики») ^[12] . Эта латинская обработка хранится в Парижской национальной библиотеке ^[13] . Рукописи Иоанна Севильского послужили источником распространения в Европе десятичной позиционной арифметики.

Другое сочинение часто называют «Книгой введения Алхоризма в астрономическое искусство, составленная магистром А.» (Liber ysagogarum Alchorismi in artem astronomicam a magistro A.) ^[14] . Книга известна в двух списках, из которых один датирован 1143 г. Авторство книги приписывают магистру А., которого многие ученые считают Аделардом из Бата, хотя убедительных аргументов в пользу этой гипотезы, как утверждает А. Аллар, до сих пор не имеется ^[15] . Копии рукописи хранятся в Венской национальной библиотеке, в Баварской государственной библиотеке в Мюнхене, в Парижской национальной библиотеке и в Амброзанской библиотеке ^[16] .

Под сильным влиянием аль-Хорезми шло развитие арифметики и всей математики в средневековой Европе вплоть до XVI в. Об этом говорит и то что, имя аль-Хорезми в латинской транскрипции (алгоритм) вошло в виде названия для системы вычислений, выполненных по определенному правилу, в современную математику и в сферу информационных технологий.

Известный ученый С. Гандц писал: «Произ­ведения Хорезми — начало европейской науки» ^[17] .

Число трудов по алгоризму быстро возрастало, они появлялись в различных странах, причем сначала на латыни (латинский язык оставался до XVIII в. языком преподавания в высших школах Европы), а затем и на живых народных языках.

Большой интерес исследователей вызвал арифметический трактат «Algorismus demonstratus» («Разъясненный алгоризм») автором которого является магистр Гернард (Magister Gernardus) живший в XIII веке ^[18] .

Также широкую известность приобрел «Обыкновенный алгоризм» (Algorismus vulgaris), или «Трактат об искусстве счета» (Tractatus de arte numerandi, ок. 1250) англичанина Джона Галифакса ^[19] . Латинское прозвище этого ученого — Иоанн Сакробоско (Johannes de Sacrobosco, ок. 1200–1256). В XIII–XIV вв. в европейских университетах учились уже сотни студентов, которым на интернациональном языке ученых — латинском — профессора объясняли руководство по «алгорисму» Сакробоско ^[20] . Эта книга на столетия стала основным учебником по вычислениям в десятичной позиционной системе счисления во многих европейских университетах.

Почти одновременно с алгоризмом Сак­ро­боско было составлено «Разъяснение алгоризма» (Demonstratio Jordani de algorismo) Иордана Неморария, которое сохранилось в многочисленных списках ^[21] . Профессор Парижского университета и генерал одного из монашеских орденов Иордан Неморария распространял алгоризм в церковных монашеских кругах.

В стихах — в 284 гекзаметрах — изложил алгоризм целых чисел французский математик Александр де Вильде из Нормандии (Alexander de Villa Dei, умер ок. 1240). Его «Песнь об алгоризме» (Carmen de algorismo) была переведена на французский, английский и исландский языки ^[22] .

Ко второй половине XIII в. принадлежит анонимная французская алгоритмическая рукопись. Необходимо упомянуть также древнейший английский алгоризм «Искусство счета» (Crafte of Nombrynge, ок. 1300) и первую известную книгу об алгоризме на итальянском языке (Tractatus algorismi), которую составил в 1307 г. некий Джакобо из Флоренции ^[23] .

Большое значение для распространения в Европе позиционной системы счисления сыграло сочинение «Книга абака» итальянского купца Леонардо Пизанского, или Фибоначчи (1202) ^[24] . Систематизировав в ней много сведений, почерпнутых из математических трудов на арабском языке, Фибоначчи выступает решительным сторонником индо-арабской арифметики. Поскольку сочинение было предназначено в основном для коммерческих дел, то оно получило большое распространение среди широкого круга населения. Хотя произведение носит название «Книга абака», в ней речь идет вовсе не о вычислениях на счетной доске. Заголовок означает только, что для Леонардо термин «абак» стал синонимом арифметики — в этом смысле он применялся итальянцами позднее.

Все большее распространение вычислений в общественной жизни, технике и науке (астрономия) содействовало внедрению позиционной системы в школьное обучение, в обиход строителей, инженеров, торговцев, бухгалтеров, чиновников и др. Изобретение книгопечатания в большей мере содействовало росту алгоритмической литературы, некоторые трактаты переиздавались неоднократно.

В XIV–XV веках индийская арифметика получила повсеместное распространение среди купцов и вычислителей (прежде всего в Италии, а затем в Германии и Франции).

В Германии с развитием городов, расширением торговли и ремесел также возросла потребность деловых кругов в освоении методов счета. Уже в XIII веке возникли специальные школы, в которых обучались будущие вычислители. Их называли рехенмейстерами (Rechenmeister — по терминологии германских торговых городов) ^[25] . Вычислители сыграли большую роль во внедрении индо-арабской арифметики. Преподавание велось на немецком языке, таким путем вырабатывалась немецкая математическая терминология. Поэтому вскоре наряду с латинскими появились многочисленные немецкие учебники по «алгорисму».

Среди первых и наиболее значительных сочинений такого рода, вышедших в XV–XVI веках, следует назвать учебники Ульриха Вагнера и Иоаганна Видмана. Изданная в 1482 году книга У. Вагнера под названием «Бамбергская арифметика» (Bamberger rechenbuch) была первым печатным немецким сочинением по «алгорисму» ^[26] . В книге Иоаганна Видмана (1489) Behende und Rechung auf allen kauffmanscaff практической арифметике посвящен один раздел из трех, составляющих это сочинение ^[27] .

На протяжении трех веков европейские алгоритмики внесли много изменений и усовершенствований в систему вычислений Хорезми. В частности, в «Тактате по алгоризму» П. Бельдоманди (ум. 1428) изданном в 1483 г., расположение действий приобретает уже вполне современный вид ^[28] .

Нисба ^[29] Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми в ее латинских формах — чаще всего Algorithmus или Algorismus превратилась в название новой арифметики — алгоритм или алгоризм ^[30] . Позднее термин алгоритм стал обозначать любой регулярный вычислительный процесс, в конечное число шагов дающий решение определенного класса задач. Примерно тогда же стали говорить об «алгористах» (например, об алгористах говорится в «Книге алгоризма» из Салемского монастыря ^[31] ), т. е. о приверженцах алгористической арифметики, в противоположность «абацистам». Это название происходит от специального прибора — абака, напоминающего современные счеты, с помощью которого производились все практические вычисления.

Следует отметить, что распространение алгоритмической арифметики не было быстрым (хотя уже в середине XII века с новой арифметикой были знакомы и в Австрии, и в Баварии), но это объяснялось уже не качествами книги и ее перевода, а гораздо более общими причинами: противодействием старой, сильной школы, т. е. абацистов, чрезвычайной ограниченностью круга математиков и их разобщенностью, ничтожным числом школ, отсутствием книгопечатания и пр. Алгоритмическая арифметика начиная с XII века завоевывала позиции в ожесточенной борьбе с абацистами, применявшими римскую нумерацию и двенадцатеричные римские дроби и чрезвычайно громоздкие приемы умножения и деления.

Таким образом, мы видим, что латинизированное имя аль-Хорезми было вынесено в заглавие книги, и сегодня ни у кого нет сомнений, что слово «алгоритм» попало в европейские языки именно благодаря этому сочинению. Можно с уверенностью сказать, что узбекский ученый Мухаммад аль-Хорезми научил Европу искусству вычислений, а его сочинение по индийской арифметике по своим достоинствам вполне заслуживало чести стать настольным руководством первых алгоритмиков Востока и Запада.

Трудами аль-Хорезми, как уже сказано, был создан новый математический объект и широко применяемый в сфере информационных технологий термин — алгоритм. Вначале «алгоритм» обозначал имя ученого, затем нумерацию по позиционной системе счисления, а теперь — всякую систему вычислений, производимых по строго определенным правилам ^[32] . Алгоритм — это регулярный, последовательный процесс, которым всегда можно пользоваться для решения задач данного типа ^[33] .

Благодаря аль-Хорезми европейская и мировая научные мысли познакомились с понятием алгоритма — одного из основополагающих не только для математической науки, но и для информатики, а также сферы информационных технологий. В XXI веке алгоритм приобрел особое значение. Математическая логика и информатика предъявляют на нее свои права. Современные интернет- и информационные технологии не могут обойтись без теории алгоритмов. Сегодня известны веб-алгоритмы, алгоритмические языки (Альфа язык, Фортран, Бейсик, HTML, Java и др. — всего более 500 алгоритмических языков, действующих в разных странах планеты), алгоритмы поиска информации в Интернете.

Имя аль-Хорезми увековечено в самом названии научного понятия. Слово «аль-Хорезми» развивалось и изменялось в течении двенадцати веков: ал-Хоразмий, Algorizmi, Algorismus, Alchwarism, Hwarism, Algorithm, алгоритм.

Заслугу аль-Хорезми перед мировой наукой трудно переоценить. Он был родоначальником могучей когорты ученых Средневекового Востока, деятельность которых перебросила мост от античной науки к науке эпохи европейского Ренессанса. «Труды Хаваризми (Хорезми), и в особенности его арифметика, послужили основой как для восточной, так и для европейской математической литературы в первые годы эпохи Возрождения. Если вдохновляющим первоисточником всякой chisabu hindi на Востоке была арифметика Хаваризми, то и на Западе, т. е. в Европе, в последние годы средневекового застоя научной мысли и в первые годы Возрождения она выполняла ту же роль; это восточная школа Мухаммада ибн Мусы аль-Хаваризми в эти тяжелые годы для европейской науки подготовила известных математиков в лице Leonardo de Pise по прозвищу Fibonacci, Lucas du Burgo по прозвищу Paccioli и других» ^[34] .

Можно с уверенностью сказать, что аль-Хорезми и вообще среднеазиатские ученые способствовали становлению Ренессанса в Западной Европе. Как справедливо отметил академик Н. И. Конрад: «Среднеазиатская культура в этот период как во многих областях техники и материальной культуры, особенно в искусстве, так и в области законодательства, политических учений, философии, историографии, науки и художественной литературы, развились раньше и были долгое время богаче по содержанию, чем все эти области культуры на Западе» ^[35] .